MATERI INTEGRAL

Download D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI. MATERI. INTEGRAL. Untuk SMA/MA Kelas XII. Integral Aljabar _Integral Fu...

0 downloads 130 Views 1MB Size
[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3 oleh Kelompok 3

MATERI INTEGRAL Untuk SMA/MA Kelas XII Integral Aljabar _Integral Fungsi Trigonometri _ Integral Tak Tentu_Integral Tertentu

i

Isna Silvia, Selly Erawati S, Ima Tarsimah Kelas 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA oleh Kelompok 3 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

KATA PENGANTAR

Buku sebagai salah satu sumber pembelajaran mempunyai peranan yang penting dalam meningkatkan sumber daya manusia khususnya peserta didik. Dengan buku, peserta didik dapat mengikuti kegiatan belajar mengajar dengan baik dan siswa mampu memahami materi dengan lebih mudah. Untuk meningkatkan keterampilan siswa dalam berpikir kritis, kreatif, dan sistematis dalam memecahkan masalah pengoprasian integral serta aplikasi dalam kesehariannya, kami lengkapi buku ini dengan contoh soal dan Uji kompetensi. Kami berharap buku ini dapat membimbing para siswa menerapkan berbagai konsep untuk mengembangkan materi integral. Sesuai kata orang bijak, tidak ada yang sempurna dalam hidup begitupun dengan buku ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun dari para pembaca untuk memperbaiki mutu buku berikutnya sangat kami harapkan.

Cirebon, Oktober 2014

Penulis

i

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .........................................................................................

i

DAFTAR ISI ........................................................................................................

ii

KATA-KATA MOTIVASI ..................................................................................

iii

TUJUAN PEMBELAJARAN ..............................................................................

iv

BAB

INTEGRAL A. Pengertian Integral ...........................................................................

1

B. Integral Tak Tentu 1. Pengertian Integral Tak Tentu .....................................................

1

a. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar .............................

2

b. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri ...................

3

2. Penerapan Integral Tak Tentu .....................................................

6

C. Integral Tertentu ..............................................................................

7

D. Teknik-Teknik Pengintegralan 1. Integral Subtitusi a).Bentuk Subtitusi-1 ................................................................. b).Integral

yang

Memuat

Bentuk

10

π‘Ž2 βˆ’ π‘₯ 2 ,

π‘Ž2 + π‘₯ 2 , π‘₯ 2 βˆ’ π‘Ž2 ...............................................................

12

2. Integral Parsial ............................................................................

13

E. Beberapa Penggunaan Integral Tertentu 1. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X ...................................

14

2. Luas Daerah antara Dua Kurva ...................................................

15

3. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X dan Y ...................

16

F. Aplikasi IntegralDalam Kehidupan Sehari-hari ..............................

20

UJI KOMPETENSI .............................................................................

22

DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................

27

BIODATA KELOMPOK DAN DESKRIPSI KERJA KELOMPOK

ii

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Ambisi dan mimpimu adalah samudra. Meski kadang terjadi pasang surut, tapi takkan pernah surut airnya. Oleh sebab itu, bersemangatlah selalu, meski melakukan hal sekecil apapun. Jangan pernah menunda-nunda apa yang bisa dilakukan hari ini.

M

engalahkan Rasa engolah menjadi Asa ewujudkan dalam Realita

Perhatikanlah daun-daun yang mati dan berguguran dari pohon, ia sebenarnya memberikan hidup baru pada pohon. Bahkan sel-sel dalam tubuh kita pun selalu memperbaharui diri.

PERBAIKI DIRI. GALI POTENSI.

Segala sesuatu di alam ini memberikan jalan kepada kehidupan yang baru dan membuang yang lama. Satu-satunya yangmenghalangi kita untuk melangkah dari masa lalu adalah pikiran kitasendiri.

Setiap insan manusia dilahirkan luarbiasa. Ingatlah, hanya seorang pemenang yang bisa melihat potensi, sementara seorang pecundang sibuk mengingat masa lalu.

Jauhkan keraguan, Temukan Cara Terbaikmu Meraih Mimpi

iii

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

TUJUAN PEMBELAJARAN a. Memahami pengertian integral b. Memahami pengertian integral tak tentu c. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri d. Memahami pengertian integral tertentu e. Menentukan integral tertentu dengan menggunakan sifat-sifat integral f. Menentukan integral dengan cara substitusi dan parsial g. Menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva h. Merumuskan integral tertentu untuk luas daerah antara kurva dan sumbu x i. Menghitung luas suaru daerah yang dibatasi dua kurva j. Merumuskan integral tertentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu x dan sumbu y k. Menghitung volume benda dari daerah yang dibatasi oleh dua kurva yang mengelilingi sumbu x dan sumbu y

iv

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

BAB INTEGRAL A. Pengertian Integral Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 𝑓 π‘₯ = 2π‘₯ 3 . Setiap fungsi ini memiliki turunan 𝑓 β€² (π‘₯) = 6π‘₯ 2 . Jadi, turunan fungsi 𝑓 π‘₯ = 2π‘₯ 3 adalah 𝑓 β€² (π‘₯) = 6π‘₯ 2 . Menentukan fungsi 𝑓(π‘₯) dari 𝑓 β€² π‘₯ , berarti menentukan antiturunan dari 𝑓 β€² (π‘₯) . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika 𝑓(π‘₯) adalah fungsi umum yang bersifat𝑓 β€² π‘₯ = 𝑓 π‘₯ , maka 𝑓(π‘₯) merupakan antiturunan atau integral dari 𝐹 β€² π‘₯ = 𝑓(π‘₯).

B. Integral Tak Tentu 1. Pengertian Integral Tak Tentu Pengintegralan fungsi 𝑓(π‘₯) yang ditulis sebagai ∫ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ disebut integral tak tentu dari 𝑓(π‘₯). Jika 𝐹(π‘₯) anti turunan dari 𝑓(π‘₯), maka 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝑓 π‘₯ + 𝑐 Keterangan: = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang

∫

matematikawan Jerman) 𝑓 π‘₯

= fungsi integran

𝑓 π‘₯

= fungsi integral umum yang bersifat 𝑓 β€² π‘₯ = 𝐹(π‘₯)

𝑐

=konstanta pengintegralan Ada dua jenis integral tak tentu yang akan kamu pelajari pada

bagian ini yaitu integral tak tentu dari fungsi aljabar dan integral tak tentu

1

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

dari fungsi trigonometri. Agar kamu memahaminya dengan baik, perhatikan uraian berikut. a. Rumus Dasar Integral Tak Tentu dan Fungsi Aljabar Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. 

𝑔1 π‘₯ = π‘₯, didapat 𝑔1 β€² π‘₯ = 1 Jadi, jika 𝑔1β€² (π‘₯) = 1 maka 𝑔1 π‘₯ = ∫ 𝑔1β€² π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘₯ + 𝑐1



𝑔2 π‘₯ =

1 2

π‘₯ , didapat 𝑔2 β€² π‘₯ = π‘₯

Jadi, jika 𝑔2 β€² π‘₯ = π‘₯ maka 𝑔2 π‘₯ = ∫ 𝑔2β€² π‘₯ 𝑑π‘₯ =

1 2

π‘₯ + 𝑐2

Dari uraian ini, tampak bahwa jika 𝑔′ π‘₯ = π‘₯ 𝑛 , maka 𝑔 π‘₯ = 1

π‘₯ 𝑛 +1 + 𝑐 atau dapat dituliskan ∫ π‘₯ 𝑛 𝑑π‘₯ = 𝑛+1

1 𝑛+1

π‘₯ 𝑛 +1 + 𝑐 , 𝑛 β‰  1

. Sebagai contoh, turunan fungsi 𝑓 π‘₯ = 2π‘₯ 2 + 𝑐 adalah 𝑓 β€² π‘₯ = 4π‘₯ .

Ini

berarti,

antiturunan

dari

𝑓 β€² π‘₯ = 4π‘₯

adalah 𝑓 π‘₯ = 2π‘₯ 2 + 𝑐 atau dituliskan ∫ 𝑓 β€² π‘₯ 𝑑π‘₯ = 2π‘₯ 2 + 𝑐 . Uraian ini menggambarkan hubungan berikut. Jika 𝑓 β€² π‘₯ = π‘₯ 𝑛 , maka 𝑓 π‘₯ =

1 𝑛+1

π‘₯ 𝑛 +1 + 𝑐 , 𝑛 β‰  βˆ’1

dengan 𝑐 suatu konstanta. Misalnya π‘˜ konstanta real sembarang, 𝑓 π‘₯

dan 𝑔 π‘₯

merupakan fungsi yang dapat diintegralkan, maka akan berlaku:

a) ∫ 𝑑π‘₯ = π‘₯ + 𝑐 b) ∫ π‘˜ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘˜ ∫ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ c) ∫ 𝑓 π‘₯ Β± 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ = ∫ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ Β± 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ d) ∫ π‘Žπ‘₯ 𝑛 𝑑π‘₯ =

π‘Ž π‘₯+1

π‘₯ 𝑛 +1 + 𝑐

Untuk lebih memahami integral tak tentu fungsi aljabar, marilah kita simak contoh-contoh berikut.

2

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Contoh: 1. Selesaikan integral berikut! a) ∫ π‘₯ 3 𝑑π‘₯ 3

b) ∫ π‘₯ 2 𝑑π‘₯ 4

c) ∫ 2 π‘₯ 3 𝑑π‘₯ d) ∫ 6π‘₯ 2 + 2π‘₯ βˆ’ 3 𝑑π‘₯ Jawab: 1

1

a) ∫ π‘₯ 3 𝑑π‘₯ = 3+1 π‘₯ 3+1 + 𝑐 = 4 π‘₯ 4 + 𝑐 3

b) ∫ π‘₯ 2 𝑑π‘₯ = c) ∫ 2

4

π‘₯3

1 3 +1 2

3

5

2

π‘₯ 2+1 + 𝑐 = 5 π‘₯ 2 + 𝑐 3

3 4

𝑑π‘₯ = 2 ∫ π‘₯ 𝑑π‘₯ = 2 βˆ™

π‘₯4

+1

3 +1 4

8

2

+ 𝑐 = 7 π‘₯4 + 𝑐

d) ∫ 6π‘₯ 2 + 2π‘₯ βˆ’ 3 𝑑π‘₯ = ∫ 6π‘₯ 2 𝑑π‘₯ + ∫ 2π‘₯ 𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ 3 𝑑π‘₯ = 2π‘₯ 3 + π‘₯ 3 βˆ’ 3π‘₯ + 𝑐

b. Rumus Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri Untuk

memahami

integral

dari

fungsi

trigonometri,

dibutuhkan

pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut : Tabel Turunan Fungsi Trigonometri

3

𝓕(𝒙)

𝓕′ (𝒙)

𝐬𝐒𝐧 𝒙

cos π‘₯

𝐜𝐨𝐬 𝒙

βˆ’ sin π‘₯

𝐭𝐚𝐧 𝒙

𝑠𝑒𝑐 2 π‘₯

𝐬𝐞𝐜 𝒙

tan π‘₯. sec π‘₯

𝐜𝐨𝐭 𝒙

βˆ’π‘π‘ π‘ 2 π‘₯

𝐜𝐬𝐜 𝒙

βˆ’ cot π‘₯. csc π‘₯

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Berdasarkan tabel Tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut. ∫ cos π‘₯ 𝑑π‘₯ = sin π‘₯ + 𝐢 ∫ sin π‘₯ 𝑑π‘₯

= βˆ’ cos π‘₯ + 𝐢

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑑π‘₯

= tan π‘₯ + 𝐢

𝑐𝑠𝑐 2 π‘₯ 𝑑π‘₯

= βˆ’ cot π‘₯ + 𝐢

tan π‘₯. sec π‘₯ 𝑑 = sec π‘₯ + 𝐢

cot π‘₯. csc π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’ csc π‘₯ + 𝐢

Berdasarkan rumus integral dari fungsi trigonometri diatas, maka rumus-rumus tersebut dapat diperluas menjadi : a. ∫ cos π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑑π‘₯ =

1 π‘Ž

sin π‘Žπ‘₯ + 𝑏 + 𝐢 1

b. ∫ sin π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑑π‘₯ = βˆ’ cos π‘Žπ‘₯ + 𝑏 + 𝐢 π‘Ž c. ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑑π‘₯ =

1 π‘Ž

tan π‘Žπ‘₯ + 𝑏 + 𝐢

d. ∫ tan π‘Žπ‘₯ + 𝑏 . sec π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑑π‘₯ =

1 π‘Ž

sec π‘Žπ‘₯ + 𝑏 + 𝐢

1

e. ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑑π‘₯ = βˆ’ π‘Ž cot π‘Žπ‘₯ + 𝑏 + 𝐢 1

f. ∫ cot π‘Žπ‘₯ + 𝑏 . csc π‘Žπ‘₯ + 𝑏 𝑑π‘₯ = βˆ’ π‘Ž csc π‘Žπ‘₯ + 𝑏 + 𝐢

Contoh 1.2 Selesaikan integral berikut! 1.

∫(2 sin π‘₯ + 3) 𝑑π‘₯

2.

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 2π‘₯ βˆ’ 1 𝑑π‘₯

3.

∫ 𝑠𝑖𝑛2 π‘₯ 𝑑π‘₯

4.

∫(sin π‘₯ + cos π‘₯)2 𝑑π‘₯

5.

∫ sin 4π‘₯. cos 2π‘₯ 𝑑π‘₯

4

Ingat kembali 𝑠𝑖𝑛2 π‘₯ =

1 1 βˆ’ cos 2π‘₯ 2 2

π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ =

1 1 + cos 2π‘₯ 2 2

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

6.

∫ sec π‘₯. tan π‘₯ 𝑑π‘₯

7.

∫ 2 sin 3π‘₯ 𝑑π‘₯

Penyelesaian : 1.

∫(2 sin π‘₯ + 3) 𝑑π‘₯ = 2 ∫ sin π‘₯ 𝑑π‘₯ + ∫ 3 𝑑π‘₯ = βˆ’2 cos π‘₯ + 3π‘₯ + 𝐢

2.

∫(𝑠𝑒𝑐 2 2π‘₯ βˆ’ 1) 𝑑π‘₯ = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 2π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ 𝑑π‘₯ = 2 tan 2π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 𝐢

3.

∫ 𝑠𝑖𝑛2 π‘₯ 𝑑π‘₯ =∫(2 βˆ’ 2 cos 2π‘₯) 𝑑π‘₯ = 2 π‘₯ βˆ’ 4 2π‘₯ + 𝐢

4.

∫(sin π‘₯ + cos π‘₯)2 𝑑π‘₯ =∫(𝑠𝑖𝑛2 π‘₯ + 2 sin π‘₯. cos π‘₯ + π‘π‘œπ‘  2 π‘₯)

1

1

1

1

1

=∫(1 + 2 sin π‘₯. cos π‘₯ 𝑑π‘₯ =∫(1 + sin 2π‘₯) 𝑑π‘₯ 1

=π‘₯ βˆ’ 2 cos 2x + C

𝑠𝑖𝑛2 π‘₯ + π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ = 1 π‘‘π‘Žπ‘›2 π‘₯ + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 π‘₯ π‘π‘œπ‘‘ 2 π‘₯ + 1 = 𝑐𝑠𝑐 2 π‘₯

5. ∫ sin 4π‘₯. cos 2π‘₯ 𝑑π‘₯ =

1 sin 6π‘₯ + sin 2π‘₯ 𝑑π‘₯ 2

=

1 (sin 6π‘₯ + sin 2π‘₯) 𝑑π‘₯ 2

1 1 1 βˆ’ cos 6π‘₯ βˆ’ cos 2π‘₯ + 𝐢 2 6 2 1 1 = βˆ’ cos 6π‘₯ βˆ’ cos 2π‘₯ + 𝐢 12 4

=

6. ∫ sec π‘₯. tan π‘₯ 𝑑π‘₯ = sec π‘₯ + 𝐢 7. ∫ 2 sin 3π‘₯ 𝑑π‘₯ = 2 ∫ sin 3π‘₯ 𝑑π‘₯

2 = βˆ’ π‘π‘œπ‘ 3π‘₯ + 𝐢 3

5

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

2. Penerapan Integral Tak Tentu Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan di bawah ini : 1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan. 2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan anatara s, v, dan a adalah sebagai berikut.

𝑑𝑠

𝑣 = 𝑑𝑑 sehingga 𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑑 dan π‘Ž =

𝑑𝑣 𝑑𝑑

sehingga 𝑣 = ∫ π‘Ž 𝑑𝑑

Agar lebih memahami aplikasi integral tak tentu, perhatikan contoh soal berikut ini! 1. Diketahui 𝑓 β€² π‘₯ = 6π‘₯ 2 βˆ’ 10π‘₯ + 3 dan 𝑓 βˆ’1 = 2. Tentukan 𝑓(π‘₯). Jawab : 𝑓 β€² π‘₯ = 6π‘₯ 2 βˆ’ 10π‘₯ + 3 𝑓 π‘₯ =

6π‘₯ 2 βˆ’ 10π‘₯ + 3 𝑑π‘₯

= 2π‘₯ 3 βˆ’ 5π‘₯ 2 + 3π‘₯ + 𝐢 𝑓 βˆ’1 = 2 2 = 2(βˆ’1)3 βˆ’ 5 βˆ’1 2 + 3 βˆ’1 + 𝐢 2 = βˆ’2 βˆ’ 5 βˆ’ 3 + 𝐢 𝐢 = 12 3 2 Jadi, 𝑓(π‘₯) = 2π‘₯ βˆ’ 5π‘₯ + 3π‘₯ + 12 2. Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan a yang memenuhi persamaan π‘Ž = 2𝑑 βˆ’ 1, π‘Ž dalam π‘š/𝑠 2 dan t dalam detik. Jika kecepatan awal benda 𝑣 = 5 π‘š/𝑠 dan posisi benda saat 𝑑 = 6 adalah 𝑠 = 92 π‘š, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik! Jawab : π‘Ž = 2𝑑 βˆ’ 1 𝑣=

π‘Ž 𝑑𝑑

𝑣=

2𝑑 βˆ’ 1 𝑑𝑑

= 𝑑2 βˆ’ 𝑑 + 𝐢

6

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Kecepatan awal benda 5 π‘šπ‘  βˆ’1 , artinya saat t = 0 nilai v = 5 𝑣𝑑=0 = 5 2 0 βˆ’0+𝐢 = 5 𝐢=5 Sehingga, 𝑣 = 𝑑2 βˆ’ 𝑑 + 5

𝑠=

𝑣 𝑑𝑑

=

𝑑 2 βˆ’ 𝑑 + 5 𝑑𝑑

=

1 3 1 2 𝑑 βˆ’ 𝑑 + 5𝑑 + 𝑑 3 2

π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘˜ 𝑠𝑑=6 = 92 1 1 (6)3 βˆ’ 6 3 2

2

+ 5 6 + 𝑑 = 92

72 βˆ’ 18 + 30 + 𝑑 = 92 84 + 𝑑 = 92 𝑑=8 Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan 1 1 𝑠 = 𝑑 3 βˆ’ 𝑑 2 + 5𝑑 + 8 3 2

C. Integral Tertentu Jika fungsi 𝑦 = 𝑓 π‘₯ kontinu pada interval π‘Ž ≀ π‘₯ ≀ 𝑏, maka: 𝑏

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝐹 π‘₯

𝑏 π‘Ž

=𝐹 𝑏 βˆ’πΉ π‘Ž

π‘Ž

dengan 𝐹 π‘₯ adalah anti turunan dari 𝑓 π‘₯ dalam π‘Ž ≀ π‘₯ ≀ 𝑏. Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dengan π‘Ž sebagai batas bawah dan 𝑏 sebagai batas atas. Definisi integral di atas dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus.

7

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Misalnya 𝑓 π‘₯ dan 𝑔 π‘₯ merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup π‘Ž, 𝑏 , maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut. π‘Ž

1. βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 0 𝑏

𝑏

2.βˆ«π‘Ž 𝓀. 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝓀 βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯, 𝓀 = konstanta 𝑏

𝑏

𝑏

3.βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ Β± 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ Β± βˆ«π‘Ž 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑏

π‘Ž

4.βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ’ βˆ«π‘ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑏

𝑐

𝑐

5. βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ + βˆ«π‘ 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = βˆ«π‘Ž 𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ Untuk memahami integral tertentu lebih lanjut, marilah kita simak contoh-contoh berikut. Contoh : 1. Hitunglah hasil integral berikut! 3

a. ∫0 6π‘₯ 2 𝑑π‘₯ Jawab : 3

3 2

6π‘₯ 𝑑π‘₯ = 6 0

0

1 π‘₯ 2 𝑑π‘₯ = 6. π‘₯ 3 3

3

=6 0

1 3 1 . 3 βˆ’ . 03 3 3

= 6 9 βˆ’ 0 = 54 3

b. ∫1 π‘₯ 2 + 2π‘₯ βˆ’ 3 𝑑π‘₯ Jawab : 3

3 2

π‘₯ + 2π‘₯ βˆ’ 3 𝑑π‘₯ = 1

3 2

π‘₯ 𝑑π‘₯ + 1

3

2π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ 1

1

1 3𝑑π‘₯ = π‘₯ 3 3

3

+ π‘₯2 1

3 1

βˆ’ 3π‘₯

3 1

1 3 1 . 3 βˆ’ . 13 + 32 βˆ’ 12 βˆ’ 3.3 βˆ’ 3.1 3 3 1 26 = 9βˆ’ + 9βˆ’1 βˆ’ 9βˆ’3 = +8βˆ’6 3 3

=

=

8

32 2 = 10 3 3

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

2. Hitunglah hasil integral dari bentuk berikut! πœ‹ 4

(2 sin π‘₯ + 6 cos π‘₯)𝑑π‘₯ πœ‹ βˆ’ 2

Jawab : πœ‹ 4

(2 𝑠𝑖𝑛 π‘₯ + 6 π‘π‘œπ‘  π‘₯)𝑑π‘₯ = βˆ’2 π‘π‘œπ‘  π‘₯ + 6 𝑠𝑖𝑛 π‘₯ πœ‹ βˆ’ 2

= βˆ’2 cos

πœ‹ πœ‹ + 6 sin 4 4

β€” 2 cos βˆ’

πœ‹ 4

πœ‹ 2

βˆ’

πœ‹ πœ‹ + 6 sin βˆ’ 2 2

= βˆ’ 2+3 2 βˆ’ 0βˆ’6 =6+2 2

𝓀

3. Jika ∫1 2π‘₯ βˆ’ 5 𝑑π‘₯ = 18 untuk 𝓀 > 0 maka tentukan nilai 𝓀 + 1! Jawab: 𝓀

2π‘₯ βˆ’ 5 𝑑π‘₯ = 18 1

π‘₯ 2 βˆ’ 5π‘₯ 1𝓀 = 18 𝓀2 βˆ’ 5𝓀 βˆ’ 1 βˆ’ 5 = 18 𝓀2 βˆ’ 5𝓀 + 4 βˆ’ 18 = 0 𝓀2 βˆ’ 5𝓀 βˆ’ 14 = 0 (𝓀 βˆ’ 7) 𝓀 + 2 = 0 𝓀 = 7 atau 𝓀 = βˆ’2 (tidak memenuhi) maka nilai 𝓀 + 1 = 7 + 1 = 8.  2

4.

 cos

2

x dx

0

jawab: 

 2



1 1 1 οƒΉ2 cos x ( 1  cos 2 x ) x  sin 2 x dx = dx = 0 0 2 οƒͺ2 οƒΊ 4  0 2

2

9

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

 οƒΉ 1  1  1  1  sin 2( )οƒΊ = ( ο€­ 0)  (0 ο€­ 0) ο€½ 2  2 2 4 4 2 2 4

=οƒͺ .

D. Teknik-Teknik Pengintegralan Sering kita jumpai fungsi-fungsi yang akan diintegralkan tidak sesuai dengan rumus dasar integral dan tidak sedikit fungsi tersebut diberikan dalam bentuk yang sangat rumit. Pada subbab ini kita akan membahas dua teknik pengintegralan untuk menyelesaikan integral dengan fungsi seperti itu, yaitu integral subtitusi dan integral parsial.

1. Integral Substitusi a) Bentuk Subtitusi-1 Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan π‘Ž

menggunakan rumus ∫ π‘Žπ‘₯ 𝑛 𝑑π‘₯ = 𝑛 +1 π‘₯ 𝑛 +1 + 𝑐.Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

𝑓(𝑒)

𝑑𝑒 𝑑π‘₯ = 𝑑π‘₯

𝑓 𝑒 𝑑𝑒

Contoh soal. 1. ∫(5π‘₯ βˆ’ 2)3 𝑑π‘₯ 2. ∫ π‘₯ 2 βˆ’ 1 (π‘₯ + 3)5 𝑑π‘₯ 3.

 2 x( x

2

 3) 4 dx

Jawab : 1. ∫(5π‘₯ βˆ’ 2)3 𝑑π‘₯ Misal: 𝑒 = 5π‘₯ βˆ’ 2

10

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

1 𝑑𝑒 5

𝑑𝑒 = 5 𝑑π‘₯ β†’ 𝑑π‘₯ = Sehingga 5π‘₯ βˆ’ 2

3

𝑑π‘₯ = =

Jadi,∫ 5π‘₯ βˆ’ 2

3

𝑒3

1 1 𝑑𝑒 = 5 5

𝑒3 𝑑𝑒 =

1 1 4 𝑒 +𝑐 5 4

1 (5π‘₯ βˆ’ 2)4 + 𝑐 20 1

𝑑π‘₯ = 20 5π‘₯ βˆ’ 2

4

+𝐢

2. ∫ π‘₯ 2 βˆ’ 1 (π‘₯ + 3)5 𝑑π‘₯ Misal 𝑒 = π‘₯ + 3 β†’ 𝑑π‘₯ = 𝑑𝑒 π‘₯ =π‘’βˆ’3 Sehingga ∫ π‘₯ 2 βˆ’ 1 (π‘₯ + 3)5 𝑑π‘₯ = ∫((𝑒 βˆ’ 3)2 βˆ’ 1) 𝑒5 𝑑π‘₯ =

𝑒2 βˆ’ 6𝑒 + 8 𝑒5 𝑑π‘₯

=

𝑒7 βˆ’ 6𝑒6 + 8𝑒5 𝑑π‘₯

1 6 4 = 𝑒8 βˆ’ 𝑒7 + 𝑒6 + 𝐢 8 7 3 1 6 4 = (π‘₯ + 3)8 βˆ’ (π‘₯ + 3)7 + (π‘₯ + 3)6 + 𝐢 8 7 3 1

6

4

Jadi, ∫ π‘₯ 2 βˆ’ 1 (π‘₯ + 3)5 𝑑π‘₯ = 8 (π‘₯ + 3)8 βˆ’ 7 (π‘₯ + 3)7 + 3 (π‘₯ + 3)6 + 𝐢 3.

 2 x( x

2

 3) 4 dx

Misalkan u = x 2  3 , maka

du du ο€½ 2 x atau dx ο€½ dx 2x

Sehingga diperoleh,

 2 x( x =

u

4

2

 3) 4 dx =  2 x u 4

du =

1 5 u C 5 =

11

du 2x

1 2 ( x  3) 5  C 5

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

b) Integral yang Memuat Bentuk π’‚πŸ βˆ’ π’™πŸ , π’‚πŸ + π’™πŸ , π’™πŸ βˆ’ π’‚πŸ Untuk menyelesaikan pengintegralan yang memuat bentukbentuk π‘Ž2 βˆ’ π‘₯ 2 , π‘Ž2 + π‘₯ 2 dan π‘₯ 2 βˆ’ π‘Ž2 , kita menggunakan teknik integral substitusi trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan dengan baik tabel berikut.

Bentuk

Subsitusi

Hasil

π‘Ž2 βˆ’ π‘₯ 2

π‘₯ = π‘Ž sin πœƒ

π‘Ž2 βˆ’ π‘₯ 2 = π‘Ž cos πœƒ

π‘Ž2 + π‘₯ 2

π‘₯ = π‘Ž tan πœƒ

π‘Ž2 + π‘₯ 2 = π‘Ž sec πœƒ

π‘₯ 2 βˆ’ π‘Ž2

π‘₯ = π‘Ž sec πœƒ

π‘₯ 2 βˆ’ π‘Ž2 = π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘› πœƒ

Untuk lebih memahami teknik integral substitusi trigonometri, perhatikan contoh berikut. 2

0

1 4 βˆ’ π‘₯2

𝑑π‘₯ π‘₯

Misal π‘₯ = 2 sin πœƒ , maka sin πœƒ = 2 𝑑π‘₯ = 2 cos πœƒ 𝑑 πœƒ Batas Integral π‘₯

0

πœƒ

0

2 πœ‹ 2

Sehingga 2

0

12

1 4 βˆ’ π‘₯2

πœ‹ 2

𝑑π‘₯ = 0

2π‘π‘œπ‘ πœƒ π‘‘πœƒ 4 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛2 πœƒ

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3 πœ‹ 2

= 0

2 cos πœƒ π‘‘πœƒ 2 cos πœƒ

πœ‹ 2

=

π‘‘πœƒ = πœƒ

πœ‹ 2

0

=

0

πœ‹ 2

2. Integral Parsial Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan subtitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial. Perhatikan uraian berikut. Misalnya, 𝑦 = 𝑒 βˆ™ 𝑣 dengan 𝑦, 𝑒, dan 𝑣 fungsi dari π‘₯, maka 𝑑𝑦 = 𝑒′ βˆ™ 𝑣 + 𝑒. 𝑣′ 𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 𝑑𝑒 𝑑𝑣 = βˆ™π‘£+π‘’βˆ™ 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 1 = (𝑣 𝑑𝑒 + 𝑒 𝑑𝑣) 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 = 𝑣 𝑑𝑒 + 𝑒 𝑑𝑣

𝑑𝑦 =

𝑣 𝑑𝑒 +

𝑒 𝑑𝑣

𝑦=

𝑣 𝑑𝑒 +

𝑒 𝑑𝑣

𝑒𝑣 =

𝑣 𝑑𝑒 +

𝑒 𝑑𝑣

𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’

𝑣 𝑑𝑒

Jadi, dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa rumus integral parsial adalah sebagai berikut. 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’

13

𝑣 𝑑𝑒

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Contoh soal: 1. ∫ π‘₯ 2 cos π‘₯ 𝑑π‘₯ Jawab: 1. ∫ π‘₯ 2 cos π‘₯ 𝑑π‘₯ Misal 𝑒 = π‘₯ 2 β†’ 𝑑𝑒 = 2π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑𝑣 = cos π‘₯ β†’ 𝑣 = sin π‘₯ Sehingga π‘₯ 2 cos π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘₯ 2 sin π‘₯ βˆ’

(sin π‘₯) 2π‘₯ 𝑑π‘₯ = π‘₯ 2 sin π‘₯ βˆ’ 𝑠

π‘₯ sin π‘₯ 𝑑π‘₯

= π‘₯ 2 sin π‘₯ βˆ’ 2(βˆ’π‘₯π‘π‘œπ‘  π‘₯ + sin π‘₯) + 𝑐 = π‘₯ 2 sin π‘₯ + 2π‘₯ cos π‘₯ βˆ’ sin π‘₯ + 𝑐

E. Beberapa Penggunaan Integral Tertentu 1. Luas Daerah antara Kurva dan Sumbu X Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓 π‘₯ , sumbu X, garis π‘₯ = π‘Ž, dan garis π‘₯ = 𝑏 Dengan 𝑓(π‘₯) β‰₯ 0 pada π‘Ž, 𝑏 maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus : 𝑏

𝑆=

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘Ž

Apabila 𝑓(π‘₯) ≀ 0 atau daerahnya di bawah sumbu X, maka Gambar 1. Daerah antara𝑏kurva sumbu x 𝑆=βˆ’

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘Ž

14

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

2. Luas Daerah antara Dua Kurva Misalkan daerah S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦1 = 𝑓(π‘₯), 𝑦2 = 𝑔(π‘₯), garis π‘₯ = π‘Ž, dan garis π‘₯ = 𝑏 seperto pada gambar di samping maka luas daerah 𝑆 = πΏπ‘‡π‘ˆπ‘…π‘† βˆ’ πΏπ‘‡π‘ˆπ‘„π‘ƒ .

Luas daerah S dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. 𝑆 = πΏπ‘‡π‘ˆπ‘…π‘† βˆ’ πΏπ‘‡π‘ˆπ‘„π‘ƒ 𝑏

𝑏

=

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ βˆ’ π‘Ž

𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘Ž

𝑏

=

𝑓 π‘₯ βˆ’ 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘Ž

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦1 = 𝑓(π‘₯),𝑦2 = 𝑔(π‘₯),dari π‘₯ = π‘Ž sampai π‘₯ = 𝑏 ditentukan dengan rumus 𝑏

𝐿=

𝑓 π‘₯ βˆ’ 𝑔 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘Ž

Dengan 𝑓(π‘₯) β‰₯ 𝑔(π‘₯) dalam interval π‘Ž ≀ π‘₯ ≀ 𝑏. Untuk memahami cara menentukan luas daerah, perhatikan contoh berikut ini! 1. Tentukan luas daerah antara kurva y ο€½ x 2  3x dan y = 2x + 2 Penyelesaian : Titik potong kedua kurva yaitu :

x 2  3x ο€½ 2 x  2 

x  2( x ο€­ 1) ο€½ 0  x ο€½ ο€­2 atau x ο€½ 1 Y

-2

15

0

1

X

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

 (2 x  2) ο€­ ( x 1

Lο€½

2

ο€­2



1

 3x) dx ο€½  (2 ο€­ x ο€­ x 2 ) dx ο€½ 4 ο€­2

1 satuan luas. 2

2. Tentukan luas daerah antara kurva y = x 3 , sumbu X , x = -1 dan x = 1 ! Penyelesaian :

Y

-1

0

0

1

X

1

1 1 1 1 οƒΉ 1 οƒΉ L ο€½ ο€­  x dx   x dx ο€½ ο€­ οƒͺ x 4 οƒΊ  οƒͺ x 4 οƒΊ ο€½ ο€­(0 ο€­ )  ( ο€­ 0) ο€½ satuan luas 4 4 2  4  ο€­1  4  0 ο€­1 0 0

1

3

3

3. Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X

Volume benda putar dari daerah yang diputar Volume benda putar dari daerah yang sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu Y b

b

a

a

V =   ( f ( x)) 2 dx atau V =   y 2 dx

16

d

d

c

c

V =   ( g ( y )) 2 dy atau V =   x 2 dy

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Volume benda putar dari daerah antara dua Volume benda putar dari daerah kurva kurva yang diputar360∘ terhadap sumbu antara dua kurva kurva yang diputar 360∘ terhadap sumbu X. Y. b

𝑉 =   {( f 2 ( x) ο€­ g 2 ( x)}dx atau

d

𝑉 =   { f 2 ( y) ο€­ g 2 ( y)}dy atau c

a

b

𝑉 =   ( y12 ο€­ y 22 )dx a

d

𝑉 =   ( x12 ο€­ x 22 )dy c

Contoh Soal : 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika yang daerah dibatasi kurva y = x + 1, x = 0 , x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o Penyelesaian :

y=x+1

1

-1

17

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

V= 

2



2

2

0

0

f 2 (x) dx =   ( x ) 2 dx =   ( x 2  2 x  1)dx

0

1 3 26 1 3 οƒΉ 1 οƒΉ 2 2 =  οƒͺ x 3  x 2  x οƒΊ =  οƒͺ( .2  2  2) ο€­ ( 0  0  0)οƒΊ =  ( ) 3. 3  3  3 0 2

=

2.

26  satuan volume 3

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y=(x - 2)2, sumbu y , y = 0 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o. Penyelesaian: dimana (x - 2)2 = y menjadi x =

3

3



y +2

3





𝑉 =  x dy =  ( y  2) dy ο€½  ( y  4 y  4)dy 2

0

0

1

2

0

οƒΉ

8

3

1

8

οƒΉ

9

οƒΉ

=  οƒͺ y 2  y y  4 y οƒΊ ο€½  οƒͺ .32  .3 3  4.3οƒΊ ο€½ οƒͺ  8 3  12 3 3 2 0 2  2 

3 y = (x - 2)2

0

2

3. Tentukan volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f (x) = 4 – x2, sumbu–x, dan sumbu–y diputar 360o terhadap : a. Sumbu–x b. Sumbu–y

18

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

Jawab : a. Volumenya adalah 2

2 2 2

16 βˆ’ 82 + x 4 dx

V = Ο€ (4 βˆ’ x ) dx = Ο€ 0

0

8

1

= πœ‹ 16π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ 3 + 5 π‘₯ 5 = Ο€

16 . 2 βˆ’

= πœ‹ 32 βˆ’ =

2 0

8 3 1 . 2 + . 25 βˆ’ 0 3 5

64 32 + 3 5

256  15

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu–x adalah

256  satuan volume. 15

b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, nyatakan persamaan kurva y = f (x) = 4 – x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y. y = 4 – x2 οƒž x 2 ο€½ 4 ο€­ y Volume benda putar tersebut adalah 4

𝑉=πœ‹

4 βˆ’ 𝑦 𝑑𝑦 0

1 = πœ‹ 4𝑦 βˆ’ 𝑦 2 2 = πœ‹

4 0 1

4 . 4 βˆ’ 2 . 42 βˆ’ 0

= πœ‹(16 βˆ’ 8) = 8 πœ‹ Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y adalah 8 πœ‹ satuan volume.

19

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

1

Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang integral adalah

𝑓 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 𝐹 π‘₯ + 𝐢

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut : A. Bidang Teknologi Integral sering digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen. B. Bidang Ekonomi Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu: ο‚·

Untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi.

ο‚·

Untuk mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

C. Bidang Matematika Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu: ο‚·

Untuk menentukan luas suatu bidang.

ο‚·

Untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur.

D. Bidang Fisika Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu:

20

ο‚·

Untuk menganalisis rangkaian listrik arus AC.

ο‚·

Untuk menganalisis medan magnet pada kumparan.

ο‚·

Untuk menganalisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

E. Bidang Teknik Penerapan integral dalam bidang teknik yaitu: ο‚·

Untuk mengetahui volume benda putar

ο‚·

Untuk mengetahui luas daerah pada kurva. Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui

dari

kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi

perpindahan benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial), contoh lain yaitu setiap gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.

21

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

UJI KOMPETENSI Kerjakan dengan teliti ! 1. Selesaikan tiap integral berikut ini!

b.

 2 x dx  5 x dx

c.



a.

d. e. f. g. h.

5

4

1

dx

x

 3x ο€­ 4 x  2 x ο€­ 5 x  7 dx  6 ο€­ 2 x  3x ο€­ 8 x dx  2 x ο€­ 3 dx  x x  6dx  1 ο€­ x  x dx 4

3

2

2

3

2

2

x 3  5x 2 ο€­ 4 dx x2

i.



j.

 1 οƒΆ   x x ο€­ x x οƒ·οƒ·οƒΈ dx

2

2. Selesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri berikut ini! a. b. c. d. e.

 5 sin x dx  sin x ο€­ cos x  dx  8 cos x ο€­ 6 sin x  dx  2  x  sin x  dx  x ο€­ 2 sin x  dx 2

3. Selesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri berikut ini! π‘Ž.

2 sin 4π‘₯ cos 2π‘₯ 𝑑π‘₯

𝑏. ∫ 4 sin 5π‘₯ sin π‘₯ dx 𝑐.

22

cos 3π‘₯ cos π‘₯ 𝑑π‘₯

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

4. Tentukan nilai integral di bawah ini : 3

a.

 4 x dx 0 1

b.

 6x

2

dx

ο€­2 4

c.

12 x

x dx

0

d.

 5 ο€­ 2 x ο€­ 6 x  dx

e.

1οƒΆ  1  x ο€­ x οƒ·οƒΈ dx

1

2

ο€­1

2

2

5. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut : 4

a.

 3x dx 0 3

b.

x

2

dx

ο€­2

 x



3

c.

2

ο€­ 4 dx

3

dx

ο€­3 2

d.

x

ο€­2

6. Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !

a.

 2 x  3

b

 5 x  1

c. d. e.

23

5

2

4

dx dx

 4 x x ο€­ 4 dx  12 x x  5 dx  6 x 6 ο€­ x dx 2

2

6

3

4

2

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

7. Tentukan integral berikut dengan metode parsial !

c.

 6 xx  2 dx  8 x1 ο€­ 2 x  dx  x 2 x ο€­ 4 dx

d.



e.

 x sin x dx  x cos x dx  2 x  1sin 2 x dx

a. b.

f. g.

5

3

x dx x 1

2

8. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a.

b. Y

-2

0

Y

y = x2

y=x+2

2

0

X

Y

3

X

y = x3

c. -4

24

44

X

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y ο€½ x3 ο€­ 3x 2 , sumbu X, x = -1 dan x = 3

10. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

a. π‘Œ

𝑦 = 2π‘₯

𝑦=π‘₯

0

2

𝑋

11. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 ! a. 𝑦 = π‘₯, π‘₯ = 1 dan π‘₯ = 10 b. 𝑦 = π‘₯ 2 , sumbu 𝑋, sumbu π‘Œ dan π‘₯ = 6 c. 𝑦 = π‘₯, sumbu 𝑋, sumbu π‘Œ dan π‘₯ = 9 d. 𝑦 = π‘₯ 2 +1, π‘₯ = 0 dan π‘₯ = 1 e. 𝑦 = π‘₯ 3 , sumbu 𝑋, π‘₯ = βˆ’3 dan π‘₯ = 3

12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = π‘₯ 2 + 1 dan𝑦 = 3diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360ΒΊ adalah … satuan volum a. 2

c. 3

b. 2 12 

d. 4 13 

25

e. 5

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

13. Volume benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola𝑦 = π‘₯ 2 dan 𝑦 2 = 8diputar 360ΒΊ mengelilingi sumbu Y adalah …. satuan volum a. 2 4  5

b. 3 4  5

26

c. 4 4  5

e. 9 4  5

d. 5 4  5

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3

DAFTAR PUSTAKA

E.,S. Pesta, Cecep Anwar H.F.S. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Martono, K. 1992. Kalkulus. Bandung: Fakultas IPA Jurusan Matematika ITB. Purcell, Edwin. J. 1992. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga. Ayres, Frank J.R. 1964. Calculus.McGraw Hill. Herynugroho, dkk. 2006. Matematika SMA Kelas XII. Jakarta: Yudhistira www.soalmatematik.com. Diakses pada 9 Oktober 2014. Download dokumen Matem teknik. Diakses pada 9 Oktober 2014. Download dokumen Integral Terentu Murti Astuti. Diakses pada 9 Oktober 2014.

27

1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI

[MATERI INTEGRAL] oleh Kelompok 3 Isna Silvia Nama : Isna Silvia Deskripsi Kerja Kelompok

Tempat, tanggal lahir : Majalengka, 02September 1996

Jenis kelamin : Perempuan

Dalam pembuatan project

Agama : Islam

buku ajar ini kami

Alamat : Lingk.Ganjar Asih, RT/05,

mengerjakannya dengan

RW/06Kel.Cikasarung,Kec./Kab.

berbagi tugas dengan

Majalengka, Prov.Jawa Barat

tujuan agar project buku ajar ini selasai tepat waktu, akan tetapi bukan berarti

Facebook : Isna Silvia Twitter:@isna_silvia

e-mail :[email protected]

kami mengerjakannya

Selly Erawati Sudarja

secara terpisah dan

Nama: Selly Erawati Sudarja

masing-masing, kami tetap setiap hari berkumpul dan bertukar pendapat. Banyak sekali masalah yang kami temui saat pembuatan buku

Tempat, Tanggal Lahir : Indramayu, 13 Desember1996 Jenis kelamin : Perempuan Agama : Islam

Alamat : Jl. Raya Limpas No.59 PatrolIndramayu

ajar ini, namun dengan

Facebook : Selly Erawati Sudarja

rasa kerja sama dan

Twitter : @sellyerawati_13

tanggungjawab dari

e-mail:[email protected]

masing-masing anggota kelompok kami, masalah yang kami hadapi dapat terselesaikan. Kami berharap buku ajar yang kami buat ini dapat memberikan manfaat bagi

Ima Tarsimah

Nama : Ima Tarsimah Tempat, tanggal lahir : Majalengka, 25 Maret 1995

Jenis Kelamin : Perempuan Agama : Islam

Alamat : Blok Leuwiorok RT/03 RW/01 Ds.

semua pembacanya,

Jatimulya kec. Kasokandel kab.

khususnya bagi pendidik

Majalengka

dan peserta didik dalam

Facebook :γ‚€γƒž

proses pembelajaran.

Twitter : @ImaTarsimah

1

e-mail :[email protected] 1.D PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNSWAGATI