2014
Tekniskt basår, SI-matematik, vecka 5
Uppgift 1 (x − 1)3 x3 − 3x2 + 3x − 1 ≤ 0 ⇔ ≤ 0 ⇔ (x − 1) ≤ 0 . x2 − 2x + 1 (x − 1)2 Alltså fås x ≤ 1.
Uppgift 2 Delar upp olikheten i två, den vänstra ger
3 2 3 4x2 − 2 ≥ x2 ⇔ 3x2 − 2 ≥ 0 ⇔ (x2 − ) ≥ 0 ⇔ x − 2 3 2 Olikheten gäller då x ≥
q
s
2 x+ 3
s
2 ≥0. 3
q
2/3 och x ≤ − 2/3. Den högra olikheten ger
x2 > −x2 + 5x − 6 ⇔ 2x2 − 5x + 6 > 0 . Om man försöker hitta nollställen till polynomet p(x) = 2x2 − 5x + 6 så ser att man att det saknas nollställen. Vidare så har vi en positiv term framför x2 -termen så vi kan dra slutsatsen att p(x) > 0 för alla reella x. Alltså är olikheten p(x) > 0 alltid sann. den kombinerade lösningarna att dubbelolikheten är sann q Därmed ges q då x ≥ 2/3 och x ≤ − 2/3.
Uppgift 3 (
|3x + 1| = 1 ⇔
3x + 1 = 1 , x ≥ −1/3 , −3x − 1 = 1 , x < −1/3 .
Vilket ger de två lösningarna x1 = 0 och x2 = −2/3.
Uppgift 4
−(x + 3) − (−(x − 2)) = 1 , x < −3 , |x + 3| − |x − 2| = 4 ⇔ (x + 3) − (−(x − 2)) = 1 , − 3 ≤ x < 2 , (x + 3) − (x + 2) = 1 , 2 ≤ 2 . Vidare förenkling ger
−5 = 1 , x < −3 , (x + 3) − (−(x − 2)) = 1 , − 3 ≤ x < 2 , (x + 3) − (x + 2) = 1 , 2 ≤ x . 1
2014
Tekniskt basår, SI-matematik, vecka 5
Uppgift 5 2|x − 1| − |x − 1| = a ⇔ |x − 1| = a . Observera att |x − 1| ≥ 0, alltså kommer inga lösningar att existera om och endast om a < 0.
Uppgift 6 2|x + 2| + |x + 3| − |x − 1| = 1 . −2(x + 2) − (x + 3) + (x − 1) = 1 , x < −3 , −2(x + 2) + (x + 3) + (x − 1) = 1 , − 3 ≤ x < −2 , 2|x+2|+|x+3|−|x−1| = 1 +2(x + 2) + (x + 3) + (x − 1) = 1 , − 2 ≤ x < 1 , +2(x + 2) + (x + 3) − (x − 1) = 1 , 1 ≤ x .
Analogt med tidigare uppgift fås svaren x1 = −9/2, x3 = −5/4 och x4 = −7/2 från intervall 1, 3 och 4.
Uppgift 7 1. De är då parallella. 2. Två räta linjer med olika riktningskoefficienter har alltid 1 skärningspunkt. 3. Om de har oändligt många skärningspunkter så är y1 = y2 , alltså är de exakt samma linjer.
Uppgift 8 Se kurslitteratur.
Uppgift 9 (x − 3)(x − 5) = x2 − 8x + 15 .
Uppgift 10 (x − x1 )(x − x2 ) = ... = x2 + px + q .
2
